高等实分析

测度论

抽象积分可以视作函数在某一空间的区域上求和的极限，这一讨论的基础是对区域大小的测量，等价于考虑常值函数在区域上的积分值。因此，为了定义一般的积分，首先需要定义区域的大小，分析学中称该大小为区域的测度。

测度的定义

测度的一般构造方法为：

1. 首先在某一代数上定义预测度；
2. 将上述预测度延拓到代数上得到一个外测度；
3. 使用Carathéodory检验找出所有可测集；
4. 将外测度限制在可测集上得到测度。

在介绍这一过程之前，首先需要说明为什么必须绕这么一大圈子来定义测度，而不能像定义平面上的面积那样根据几何直观直接定义测度。

直观定义的失败以及测度定义的动机

准确地说，测度是一个集合函数。给定一个集合，一个测度是一个从的子集到实数的映射。数学上常常使用性质反过来定义概念，这里我们沿用这一传统。直观上来讲，测度应当具有以下性质：

1. 可列可加性：对于任意可数个两两不相交的集合，有。
2. 全等变换下保持不变：对于任意的平移、镜像、旋转变换，有。
3. 规则区域的测度符合直觉。例如对于单位正方形，上的测度满足。

不幸的是，具有如上三条性质的函数不是总对任意的都存在，如下经典的例子来自于[Real Analysis, Folland, P20]。

反例
考虑，在其上定义等价关系：如果，则。在该等价关系下的各等价类中各取出一个代表元构成(需要使用选择公理)。定义，于是是可列集。任给，定义

于是任意，存在唯一的使得（存在性显然，唯一性需要注意到如果，则是内两个等价的元素，而根据的构造，其内部的元素互相不等价，因此），如此一来，可以被分解为的不交并

如果存在满足之前三条性质的，则根据性质3，，根据性质1中的可列可加性

注意到之间只相差一个平移，故，所以根据性质2有

如果，则，如果，则，这两种情况都不可能发生，因此不存在满足之前三条性质的测度。

以上失败表明之前的三条性质太过苛刻，需要寻找一种相对宽松的定义，类似于在PDE中相对于古典解定义弱解。然而仔细思考可以发现，性质1中的可列可加性对于测度的连续性是必要的，事实上，只有当测度满足可列可加性而非仅仅有限可加时我们才能讨论集合列的极限的测度，这在定义一般的抽象积分时是不可或缺的，性质2和性质3又看起来是自然的要求，于是唯一可行的方案是放弃在的全体子集上定义测度，退而只在那些行为良好的子集上定义测度。下面我们沿着这一思路定义测度。

代数

按照上一节的分析，我们需要在的部分子集上定义测度，现在的问题是如何选取这些子集。首先，为了使最终得到的测度具有可列可加性，测度的定义域起码要对可列并封闭，否则在子集的可列并上测度可能根本没有定义，这时可列可加性也无从谈起；另外，我们希望一些最基本的集合，即空集和全集都应当有测度；最后，还希望如果一个集合有测度，那么其补集也应当有测度，这一要求可能来自于概率论：如果一个事件有概率，那么其对立事件也应当有概率。这些要求说明所需的集合至少应该是一个-代数：

1. 空集和全集：；
2. 补运算封闭：如果，则；
3. 可列并封闭：如果，则。

如上所述，测度需要在代数上定义，如果情况足够简单到我们可以处理全集的所有子集，即幂集内的所有集族，那么只需选取合适的代数即可在上面给出测度，但是大多数情况下我们起初只有一些具有稍弱性质的集族（可列并封闭是一个比较难以满足的条件），无法直接找到一个合适的代数，此时我们需要想办法使用这些只有较弱性质的集族生成代数以定义测度。

为了在一般情况下找到一个合适的代数，我们需要从一个更弱的结构出发。通常我们已有的集合可以满足如下足够弱的条件：

1. 空集：；
2. 交封闭（system）：如果，则；
3. 补封闭：如果，则。

我们称满足这些条件的集族为一个基础集族（elementary famliy）。上述条件本质上在说是一个半代数（semi algebra），它要求是半环，并且。这其中最核心的要求是半环的条件：如果满足

1. 空集：；
2. 交封闭（system）：如果，则；
3. 集合减法满足有限不交并：如果，则，即是内有限个互不相交集合的并。

则称为一个半环（semi ring）。是半环保证了其中的集合在减法后得到的集合可以使用重新组合，从而使得即使在不再是的元素时，它依然能借助内的集合表示较好地得到分析。另外，这一名字暗示通过添加合适的要求以及配备合适的运算，我们可以从半环出发得到一个代数意义下的环：如果我们将半环所要满足的三条要求中的后两条换为对集合减法以及并运算封闭，则此时得到的在集合的交运算（）和对称差运算（）下构成一个环，因此在分析学中往往直接称满足：

1. 空集：；
2. 减封闭：如果，则；
3. 并封闭：如果，则；

的集族为一个环（ring）。

使用作为半代数的基础集族可以生成一个代数：

扩张 如果是一个基础集族，i.e.半代数，则中的元素在有限不交并下得到的集族是一个代数

所谓代数，是指一个集族满足：

1. 空集：；
2. 补封闭：如果，则；
3. 并封闭：如果，则。

使用后两条性质可知在有限交下同样封闭。后续我们将看到在这一代数上可以自然地生成一个代数，从而定义测度。代数与环的区别在于是否包含全集。

Remark

• 如果是一个环，则成为一个代数当且仅当全集；
• 如果是一个-环（对可列并封闭），则
  
  是上的一个-代数（注意到如果等价于，根据定义，所以，因此天然地对补运算封闭。特别地，令可得）；
• 如果是一个-环（对可列并封闭），则
  
  是上的一个-代数。

除了以上结构，在实分析中还有两个有用的代数概念：单调类和-系统。如果集族关于集合的单调极限封闭，即

则称是一个单调类。而当满足以下条件：

1. ；
2. 时，；
3. 时，；

称是一个-系统（-system）。以上结构可以帮助我们生成-代数。任给，记为生成的单调类（包含的最小单调类），为生成的-系统，为生成的-代数，则我们有如下重要的单调类定理 ：

单调类定理

任给，如下结论成立：

1. 如果 是一个代数，则；
2. 如果是一个-系统（交封闭），则。

以上是集合版本的单调性定理，一个经典的应用是借助它证明测度的唯一性定理。一些时候我们需要处理无限的情形，此时数学归纳法不再有效，需要换用超限归纳 ，在这个过程中往往会用到单调性定理。事实上，该定理也有类似的函数版本。

(函数版本)单调类定理：如果是一个包含的-系统，令为具有以下性质的函数构成的函数族：

1. 如果，则，其中是示性函数；
2. 如果，则；
3. 如果是一列非负函数，且，其中是一个有界函数，则；
   那么包含全体关于可测的有界函数。

(函数版本)单调类定理的作用： The monotone class theorem for functions can be a powerful tool that allows statements about particularly simple classes of functions to be generalized to arbitrary bounded and measurable functions. Eg: Fubini’s theorem.

预测度-外测度-测度-测度的完备化

假设我们已经有了合适的子集族，现在给出测度的严格定义：

测度：给定非空集合以及其上的一个-代数，如果集合函数满足：

1. 空集：；
2. 可列可加性：如果是一列互不相交的集合，则
   

则称是上的一个测度，内的元素称为可测集，三元组称为一个可测空间。

通常要让函数具有可列可加性并不容易，我们需要一步一步地构造满足以上条件的。

一个自然的想法是从简单的集合开始给定集合的测度，再使用这些简单的集合去覆盖一般的集合，不断紧化这一覆盖可以不断逼近该集合，从而将该覆盖的测度的极限作为这一一般集合的测度（因为需要使用到测度的极限，所以作为函数的测度必须具备某种连续性，基于这个原因测度需要具有可列可加性）。下面将这一思路严格化。

通常使用之前定义的基本集作为“简单集合”，它一般由一些规则区域组成，注意它只是一个半代数。在基本集上我们定义一个预测度，它满足：

1. 空集：；
2. 如果是内一列互相不交的集合，并且（半代数无法保证可列并封闭，因此必须考察该并集是否在内），则
   

借助预测度，我们可以给任意一个外测度：

这样得到的可以保证以及单调性：如果，则，但是只具有次可列可加性：

可列可加性不一定成立，所以外测度不满足测度的要求，外测度不是一个测度。一般地，称满足、单调性、以及次可列可加性的集合函数为外测度。

外测度定义在的幂集上，现在我们需要借助它筛选出内足够好到可以定义测度的集合全体，这一步的关键是如下Carathéodory检验：

-measurable：给定上的一个外测度，如果满足对都有

则称是-可测的，上述条件称为Carathéodory检验。

在此基础上，Carathéodory定理断言全体-可测集构成一个-代数，并且外测度在该-代数上的限制是一个真正的测度：

Carathéodory定理

如果是上的一个外测度，则由全体-可测集组成的集族是一个-代数，外测度在上的限制是一个完备测度。