本科毕业设计课题

Pade逼近及其在解带有极点的初值问题中的应用

相比起多项式逼近，有理逼近在被逼近函数的光滑性不够好的时候往往更加合适，并且基于时间推进式算法和多项式逼近的数值方法在极点附近都会失效，这要求我们尝试使用一种新的逼近方法来近似带有极点的函数，本文内容主要包括有理函数逼近，特别是其中的Pade逼近（及各种变体），和使用这种逼近来近似带有极点的函数，进而数值求解带有极点的常微分方程，如Riccati方程。

Padé逼近简介

谈到函数逼近，人们第一时间就会想到多项式逼近。根据Taylor定理，任意一个具有较好光滑性的函数都可以使用如下形式的截断Taylor级数来逼近

然而，没有证据表明多项式是效果最好的逼近函数族，对于某些问题，特别是对不够光滑的函数的逼近以及无界区域上的逼近问题，有理函数逼近通常具有比多项式逼近更好的效果，而有理函数逼近中最常用的一种是如下所示的Padé逼近。

历史

Padé逼近的早期历史很难梳理，这是因为每个连分式都可以看作是某个函数的一个Padé逼近，而连分式在过去几个世纪中受到了很多关注。例如，Gauss从一个连分式中推导出了Gauss求积的概念，得到了Gauss数值积分，该连分式就相当于在点处对函数进行Padé逼近。可考的与Padé逼近相关的思想来自于Anderson(1740)，Lambert(1758)和Lagrange(1776)，而Cauchy[1826]和Jacobi[1846]也肯定做出了贡献。后来从Frobenius[1881]和Padé本人[1892]的论文开始，Padé逼近的研究开始逐渐接近当前的形式，其中Padé是Hermite的学生，他在最初的论文之后继续发表了许多这方面的文章。

定义和基本性质

按照惯例，定义阶多项式空间为

类似地，阶的有理函数空间为

Padé逼近的定义

在以下的讨论中，如果不加说明，对多项式除外不加任何额外限制，例如和可能具有公因式，或者和的阶数小于和等。

现在先给出Padé逼近式的基本定义。

Padé逼近

设为任意给定的形式幂级数，使

那么在中的Padé逼近是指一个有理函数，也记为，使得它与上述级数从最低阶项起连续地有尽可能多的项相同：